مسئله صفحه شطرنج

در سده‌های چهارم و پنجم هجری بسیاری از ریاضیدانان ایرانی به بررسی دنباله‌های ریاضی پرداخته‌اند از جمله ابوریحان بیرونی در کتاب خود  " آثار الباقیه عن القرون الخالیه " مسئله معروف صفحه شطرنج را که در واقع یک دنباله هندسی است که جمله اول آن واحد و تعداد جمله‌ها ۶۴ می‌باشد حل کرده است او با استدلال ،دقیق، مجموع جمله های این دنباله را عدد ۱۸۴۴۶۷۴۴۰۷۳۷۰۹۵۵۱۶۱۵ به دست آورده است. درباره صفحه شطرنج داستانی وجود دارد؛ وقتی مخترع ،شطرنج بازی خود را به شاه عرضه کرد، شاه از او خواست پاداشی بخواهد. دانشمند پاسخ داد : برای خانه اول شطرنج، یک دانه گندم به من بدهید و برای خانه دوم دو دانه گندم و برای خانه . سوم چهار دانه گندم و همین طور برای هر خانه دو برابر خانه پیش از آن گندم بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد. شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق گندم را به او بدهند قبول کردند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا کردند. سپس معلوم شد که اگر در تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد) گندم بکارند این مقدار گندم به دست نمی آید! ابوریحان بیرونی با استدلال ریاضی به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها یک دانه کمتر از دو بتوان 63  است. او برای محسوس کردن این عدد می گوید : سطح کره زمین ۲۳۰۵ کوه را در نظر میگیریم، اگر از هر کوه ۱۰۰۰۰ رود خارج شود در طول هر رودخانه ۱۰۰۰ قطار قاطر حرکت کنند و هر قطار شامل ۱۰۰۰ قاطر باشد و همراه هر قاطر ۸ کیسه گندم قرار داده باشیم که در هر کیسه ۱۰۰۰۰ دانه گندم باشد، باز هم عدد همه این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچک تر خواهد بود

اکنون میخواهیم مجموع جملات دنباله حسابی رو براتون اثبات کرده و چند مثال حل کنیم